Quelques portraits de vésicules...


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J'ai calculé ces formes grâce au programme Surface Evolver de Kenneth Brakke.

Clifford torus Le tore de Clifford est un tore obtenu par rotation d'un cercle de rayon R1 autour d'un axe placé à une distance R2=21/2 R1. Son volume réduit est 0.71 et... il minimise l'énergie élastique de courbure pour la classe des surfaces de genre topologique 1.
Démontrez-le (problème non résolu) !
Dupin cyclide 1 Les cyclides de Dupin sont obtenues à partir du tore de Clifford par inversion par rapport à un point. Par conséquent, elles minimisent également l'énergie élastique de courbure.
Comment ça, pourquoi ? Mais parce que l'énergie de courbure est invariante par toute transformation conforme... Celle-ci doit avoir un volume réduit d'environ 0.8.
Dupin cyclide 2 Une autre cyclide de Dupin, d'un volume réduit d'environ 0.9. A dire vrai, il y en a une famille continue entre le tore de Clifford (vred = 0.71) et la sphère percée (vred = 1).
Par conséquent, la prochaine fois qu'on vous vend une sphère, vérifiez qu'elle a le bon genre (topologique) !

Vésicule stomatoïde J'ai beaucoup d'admiration pour les théoriciens: les trous noirs, la double hélice, sans parler de la roue, mais là, pardon, voilà une forme qui leur avait échappée. Sitôt observée, sitôt moulinée sur une bécane, et hop: une superbe forme stomatoïde stable.
Depuis lors, un petit paragraphe stipule que les diagrammes de phase géométrique des vésicules sont un peu compliqués à décrire... Tu parles !
Vésicule non axisymétriquee Même commentaire. Chouette, non ? Il est vrai qu'en contraste de phase et agité de mouvement brownien, ça passe moins bien à l'écran.
Bouton Après le genre 1 (torique), le genre 2 (bitorique ?). En tout cas, si on fait deux trous et qu'on minimise l'énergie élastique, il reste quelque chose: ça.
Le jour où j'ai vu cette forme à l'Ecole Polytechnique, sur un papier que m'a tendu négligeamment Eric Boix, j'en ai été scié. Quoi ! Ces formes que nous observions sans même espérer pouvoir un jour les calculer, Rob Kusner et ses comparses les avaient étudiées...
Enfin, il restait bien quelques petites choses à faire pour les physiciens, heureusement.
Surface de Lawson Cette fois le baron de Dupin n'y est pour rien, la surface bouton est associée par des transformations conformes à une famille à deux paramçètres de surfaces de même énergie (minimale), comme les cyclides de Dupin sont associées au tore de Clifford.
Celle-ci porte le nom de Lawson, mathématicien qui l'a étudiée dans la sphère unité de l'espace 4D, S3. Elle a un axe de symétrie d'ordre 3, et elle a bien 2 trous, c'est-à-dire 2 anses...

page réalisée par Xavier Michalet dernière révision le: 19 novembre1997