III. Les vésicules toriques.



voir aussi: Annexe: le problème de Willmore.


Hormis les sphères et les surfaces qui s'en distinguent seulement par des déformations continues (la surface d'un ballon de rugby, ou celle d'un boomerang ont la topologie d'une sphère), il est possible d'imaginer d'autres surfaces plus radicalement différentes: un tore (la surface d'un anneau circulaire) peut être au mieux déformé continûment en une sphère sur laquelle est greffée une petite anse. Il est en effet impossible de faire disparaître le trou sans déchirer la surface ! Ces surfaces sont dites "de genre topologique 1", du nombre d'anses qu'il faut rajouter à la sphère pour obtenir une surface équivalente.


Peut-il exister des vésicules de genre torique ? La réponse (positive) a été apportée sur un plan théorique par U. Seifert [12] en 90, quelques temps après une prédiction plus restreinte [13]: il est possible de calculer des formes d'équilibre stables de genre torique possédant un axe de symétrie. Elles peuvent être regroupées en trois familles, caractérisées par l'aspect général de leur section: les tores à section circulaire, ceux dont la section a une allure de croissant, et enfin ceux que l'on peut s'imaginer comme des disques biconcaves percés.


Les tores à symétrie axiale et de section quasi-circulaire ressemblent à une chambre à air: on les obtient en faisant tourner un cercle de rayon r autour d'un axe placé à une distance R de son centre. Ils peuvent donc être caractérisés par le rapport des rayons de ces deux cercles (les cercles générateurs), alpha = R/ r. Plus ce rapport est petit, plus le tore a un aspect gonflé. Bizarrement, les tores pour lesquels alpha est plus petit que alpha Clifford = sqrt(2) environ ne sont pas des formes d'équilibre: au delà, la nature préfère des tores qui ne sont pas axisymétriques !


Figure 5


Figure 5. Les vésicules peuvent avoir des topologies plus compliquées que les cellules vivantes. Les tores en sont la manifestation la plus simple. Parmi les tores possédant un axe de symétrie, les tores à section circulaires sont les plus courants (a). le tore de Clifford (b) est celui qui possède l'énergie de courbure la plus faible. Les vésicules plus gonflées que le tore de Clifford ne possèdent pas d'axe de symétrie: ce sont des cyclides de Dupin (c) dont le trou est excentré. Pour obtenir des vues d'une même vésicule suivant des axes différents, il est nécessaire d'attendre que celle-ci tourne sous l'effet du choc incessant des molécules d'eau (il s'agit là d'un mouvement brownien), ce qui peut parfois être très long ! Par ailleurs, il est possible de passer des tores axisymétriques aux cyclides de Dupin et réciproquement, simplement en modifiant la température de la solution, dans une expérience analogue à celle du bourgeonnement présenté dans la figure 4.

Michael Mutz et David Bensimon ont pu confirmer en 90 cette prédiction théorique par leurs observations, effectuées à peu près au même moment et indépendamment des théoriciens (voir figure 5) [15]. Tous les tores axisymétriques à section circulaire ont effectivement une valeur de alpha qui est supérieure ou égale à alpha Clifford. Mieux encore, nous avons pu montrer récemment qu'il est impossible d'en trouver au delà de cette valeur, en essayant de gonfler un tore pour lequel alpha vaut exactement alpha Clifford (ce tore particulier est connu sous le nom de tore de Clifford par les mathématiciens) [16]. Pour ce faire, il suffit de chauffer la solution: de même que dans l'expérience du bourgeonnement, la conséquence de cette opération est d'augmenter légèrement l'aire de la vésicule, tout en maintenant son volume inchangé. Le degré de gonflement augmente donc, et on observe la brisure de symétrie du tore initial: le trou central ... s'éloigne du centre en se rétrécissant [17,18].


Ce phénomène est étroitement lié à un problème formulé en 1965 par le mathématicien anglais T.J. Willmore (voir encadré), qui s'est intéressé aux surfaces minimisant l'énergie de courbure (sans se douter de leur possible observation physique !): pour le genre topologique 1, c'est le tore de Clifford (pour lequel R /r = alpha Clifford) et des surfaces non axisymétriques qui lui sont géométriquement liées, qui minimisent l'énergie de courbure: rien d'étonnant, donc, à ce que nous les observions !



Annexe: le problème de Willmore.


Le problème que se posa Willmore [19] (et qui est toujours non résolu aujourd'hui) consiste à trouver les surfaces minimisant une certaine intégrale, qui est exactement l'énergie de courbure réinventée par les physiciens pour décrire les vésicules. Notons que le problème que se sont posé les physiciens est un peu plus compliqué: il s'agit que les surfaces minimisent l'énergie de courbure, mais il faut en même temps qu'elles aient un volume, une aire et une asymétrie imposés !

Pour les surfaces de genre de topologique 0, le problème "mathématique" n'a qu'une solution: la sphère. Toutes les autres surfaces ont une énergie de courbure supérieure. Willmore conjectura (mais cela reste aujourd'hui encore à prouver) que dans le cas des surfaces du genre du tore (le genre topologique 1), c'est un tore axisymétrique à section circulaire particulier, pour lequel le rapport des rayons des cercles générateurs vaut alpha Clifford = sqrt(2), qui résoud le problème (voir figure 5).


L'énergie de courbure a par ailleurs des propriétés géométriques curieuses mais très utiles pour comprendre l'apparition de vésicules non symétriques comme nous en avons observé (voir figure 6). Tout d'abord, elle ne dépend pas de la taille de la surface considérée mais seulement de sa forme géométrique. Cette propriété (dite d'invariance d'échelle, ou d'invariance par dilatation) est en fait un cas particulier d'une propriété plus générale: si l'on fait subir à une surface une transformation géométrique qui conserve les angles entre n'importe quels segments de droites, l'énergie de courbure de la surface résultante est la même que celle de la surface de départ [14].


Figure 6


Figure 6. L'énergie de courbure energie de courbure d'une vésicule de rigidité de courbure k ne dépend que de la géométrie de la vésicule. Localement, toute surface est définie par ses deux rayons de courbure principaux R1 et R2. Ils représentent les rayons du plus petit et du plus grand cercle tangents à la surface en un point donné. Dans le cas (a), les deux cercles sont d'un même côté de la surface, mais cela n'a rien d'obligatoire, comme le montre l'exemple (b). Dans ce dernier cas, R1 et R2 sont de signes opposés, ce qui a pour effet de diminuer 1/R1+1/R2, en général. Mais l'énergie de courbure ne dépend pas de la taille de la surface. Ceci se voit simplement en considérant l'effet d'une dilatation (c) d'un facteur ß: toutes les coordonnées R sont multipliées par ß: R devient R' = ß R. Dans cette transformation, (1/R1+1/R2)2 devient 1/ß2 (1/R1+1/R2)2, et l'aire dA devient ß2 dA. L'expression de l'énergie de courbure, qui contient le produit de ces deux derniers termes, est donc inchangée! Cette invariance d'échelle n'est pas la seule propriété d'invariance de l'énergie de courbure. Les inversions par rapport à la sphère de rayon 1 (d) ne changent pas non plus sa valeur. Leur effet sur la forme géométrique est par contre très visible: par exemple, un tore de Clifford (à gauche) est transformé en une cyclide de Dupin, dont le trou est d'autant plus éloigné de son centre que le tore de Clifford est proche du centre de la sphère. Dans le cas du genre de la sphère et du tore, les inversions modifient inévitablement le volume réduit et l'asymétrie de la surface de départ. En revanche, pour les genres supérieurs, certaines inversions conservent ces deux paramètres: l'exemple présenté dans le bas de la figure correspond au genre du tore à deux trous, et représente 3 exemplaires d'une famille de surfaces possédant toutes les mêmes volume réduit, asymétrie et énergie. Une vésicule qui possèderait ces paramètres se transformerait continûment en toutes les surfaces de cette famille, donnant l'impression visuelle d'un mouvement des deux trous couplé à une légère déformation en volume, baptisé diffusion conforme.

Parmi ces transformations (qu'on appelle transformations conformes), outre les dilatations, les translations et les rotations, on trouve une famille un peu moins connue, les inversions par rapport à une sphère. Ces inversions appliquées par exemple à une sphère ne modifient que sa taille, mais si on les applique à un tore, en variant la position du centre d'inversion, la surface résultante change beaucoup d'aspect, perdant notamment la symétrie de rotation. En terme de degré de gonflement (une notion purement géométrique, puisque n'y interviennent que l'aire et le volume de la surface, que l'on traduit par un rapport sans dimension de ces deux grandeurs, le volume réduit), ces nouvelles surfaces sont plus "gonflées" que le tore de départ.


Nous pouvons maintenant donner une explication de nos observations: les vésicules de gonflement plus faible que le tore de Clifford ont une énergie de courbure plus importante que le minimum. En se rapprochant du tore de Clifford, l'énergie diminue, pour atteindre avec lui la valeur la plus petite. Au delà, les surfaces obtenues à partir du tore de Clifford par inversion possèdant exactement la même énergie, sont des solutions naturelles du problème physique, mais qui ne possèdent plus de symétrie axiale. Ces surfaces sont connues sous le nom générique de cyclides de Dupin, mathématicien et économiste français du XIXème siècle (voir figure 5).


page réalisée par Xavier Michalet dernière révision: 16 septembre 1997